Harmonische Analyse des Wasserstands

Allgemeines

Die Gezeiten des Meeres werden im wesentlichen durch die Wirkungen der orts- und zeitabhängigen Gravitationskräfte von Sonne und Mond sowie der Rotation der Erde bestimmt. Die genaue Form der Gezeiten an beispielsweise einem beliebigen Ort entlang der Küste wird allerdings stark durch die Form der Küste sowie die Topographie des Meeresbodens (Bathymetrie) im Meeresgebiet des jeweiligen Ortes beeinflußt. Desweiteren üben in vielen Meeresbecken und insbesondere in Buchten und Ästuarien auch Resonanzeffekte einen starken Einfluß auf die endgültige Ausprägung der Gezeiten aus. Daher ist es in der Regel nicht möglich die Gezeiten für einen bestimmten Ort theoretisch vorherzubestimmen und dies, obwohl das Kraftsystem, welches die Gezeiten hervorruft, vollständig bekannt ist.

Das Bild zeigt die Aufzeichnungen der Tidekurve für den Pegel Bombay (1-14 Januar, 1884). Die Gezeiten wurden auf einer zylindrischen Trommel registriert, welche eine Umdrehung in 24 Stunden ausführt. Jede Kurve wurde mit dem aktuell gültigen Datum versehen. Erkennbar sind normalerweise zwei tägliche Hoch- und Niedrigwasser. Die Eintrittszeiten dieser Ereignisse verschieben sich an jedem Tag um ca. 50 Minuten. Innerhalb des Registrierungszeitraums wie auch an jedem Tage treten deutliche Veränderungen der Hoch- und Niedrigwasserwerte in Erscheinung (die halbmonatliche Ungleichheit und die tägliche Ungleichheit). Achtung: die Zeitachse verläuft von rechts nach links. Aus: Sir George Herbert DARWIN, Tides, in Encyclopaedia Britannica, R. S. Peale & Co. Chicago 1890 Vol. XXIII 353-381.

Die fundamentalen Frequenzen, welche in den durch Gravitation hervorgerufenen Gezeiten zu Tage treten, stehen mit folgenden astronomischen Erscheinungen und Zeitkonstanten in einem engen Zusammenhang (MSD = Mean Solar Days):

mittlerer Mondtag T1: der (mittlere) Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des Mondes durch denselben Meridian (1.035050 MSD) tropischer Monat s: der (mittlere) Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des Mondes durch den Frühlingspunkt (27.321582 MSD) tropisches Jahr h: der (mittlere) Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen der Sonne durch den Frühlingspunkt (365.2422 MSD) Rotation des erdnächsten Punktes der Mondbahn p: der (mittlere) Zeitraum für einen vollständigen Umlauf des erdnächsten Punktes der Mondbahn auf der Himmelskugel (8.85 Jahre) Rotation des aufsteigenden Knotens der Mondbahn N: der (mittlere) Zeitraum für einen vollständigen Umlauf des aufsteigenden Knotens der Mondbahn (Schnittpunkt der aufsteigenden Mondbahn mit der Ekliptik) auf der Himmelskugel (18.61 Jahre) Rotation des sonnennächsten Punktes der Erdbahn p1: der (mittlere) Zeitraum für einen vollständigen Umlauf des sonnennächsten Punktes der Erdbahn auf der Himmelskugel (20900 Jahre)

Die vorgenannten Perioden können, in einer unendlichen Anzahl von Harmonischen oder Linearkombinationen, in den Tidesignalen beobachtet werden, wobei zusätzlich die Erdrotation eine Verdopplung der Frequenzen bewirken kann, welche mit dem Umlauf zweier ungleich hoher Flutberge in Zusammenhang steht. Auf Grund der großen Zeitunterschiede in den vorgenannten Perioden treten in einem natürlichen Tidesignal oftmals eng beieinanderliegende Frequenzen auf.

Entstehung der Gezeiten

Standbild aus der Animation Entstehung der Gezeiten, siehe nebenstehenden Link bei Animation.

Gravitations- und Fliehkräfte rufen auf der Erde Gezeitenkräfte hervor. Die wichtigsten Ursachen und Wirkungen werden in der nachfolgenden Animation sowie auf dem Poster näher erläutert:

• Animation Entstehung der Gezeiten (Deutsch, ca. 325 MB, MP4-Dateiformat), und
• Poster Gezeiten - Entstehung und Phänomene (Deutsch, ca. 18 MB, PDF-Dateiformat).

Weitere Videos der BAW auf dem AV-Portal der TIB in Hannover (suche dort nach BAW). Alle Filme sind mit einem Digital Object Identifier (DOI) versehen. Dadurch lassen sich die Inhalte so einfach zitieren wie Texte. DOI dieses Videos ist http://dx.doi.org/10.5446/15182.

Hauptfrequenzen der Gezeiten

Jede Teil- oder Partialtide wird mit einem Großbuchstaben gekennzeichnet. Der angehängte Index 1 oder 2 besagt, ob es sich um eine ganztägige oder halbtägige Gezeiten handelt. So bezeichnet beispielsweise M2-Gezeit die halbtägig wiederkehrende Hauptmondtide, welche in der Deutschen Bucht die dominierende Partialtide ist. Die Frequenz der Partialtiden mit langen Periodendauern wird hingegen in anderer Weise gekennzeichnet (z.B. mit f, mf, sa).

Die nachfolgende Tabelle gibt eine Zusammenstellung verschiedener wichtiger Hauptkomponenten der Gezeiten und ihren Zusammenhang mit den astronomischen Grundfrequenzen.

Tabelle ausgewählter Hauptfrequenzen der Gezeiten
Abkürzung	Zusammensetzung	Charakter
Ssa	2h	halbjährliche Gezeit
Mm	s - p	monatliche Gezeit
Mf	2s	halbmonatliche Gezeit
Q1	T1 - 2s + p	tägliche Gezeit
O1	T1 - s	tägliche Gezeit
P1	T1 + s - 2h	tägliche Gezeit
K1	T1 + s	tägliche Gezeit
N2	2T1 - s + p	halbtägige Gezeit
M2	2T1	halbtägige Gezeit
L2	2T1 + s - p	halbtägige Gezeit
S2	2T1 + 2s + 2h	halbtägige Gezeit
K2	2T1 + 2s	halbtägige Gezeit

Die Zusammensetzung in der vorstehenden Tabelle ist so zu verstehen, daß sich die Frequenzen der Hauptgezeiten durch Addition, Subtraktion und Multiplikation aus den zuvor angegebenen astronomischen Grundfrequenzen ergeben. So erhält man die Frequenz der Mm-Gezeit durch Subtraktion der Frequenz für p von der Frequenz für s.

Flachwasserfrequenzen der Gezeiten

Neben den astronomischen Einflüssen, welche die Hauptfrequenzen der Gezeiten bestimmen, treten insbesondere in den Flachwassergebieten der Schelfmeere und küstennahen Meeresbereiche zusätzliche Signalkomponenten auf, die Linearkombinationen der Hauptfrequenzen sind und deren Entstehung (in der Regel) ausschließlich den nichtlinearen dynamischen Prozessen zugeschrieben werden kann, welche die Bewegung des Wassers beeinflussen. Hierbei handelt es sich im einzelnen um folgende physikalische Prozesse:

1. Abhängigkeit der Wellenfortschrittsgeschwindigkeit von der Wassertiefe;
2. nichtlineare Bodenreibung;
3. Advektion des Strömungsimpulses.

Graphische Darstellung der asymmetrischen Einflüsse der nichtlinearen Prozesse auf eine fortschreitende Tidewelle. Diese Darstellung ist zusätzlich auch als Encapsulated PostScript Datei erhältlich.

Graphische Darstellung der symmetrischen Einflüsse der nichtlinearen Prozesse auf eine fortschreitende Tidewelle. Diese Darstellung ist zusätzlich auch als Encapsulated PostScript Datei erhältlich.

Graphische Darstellung des Einflusses der Bodenreibung auf die Dissipation Diese Darstellung ist zusätzlich auch als Encapsulated PostScript Datei erhältlich.

Diese Gezeiten werden durch eine Kombination aus Ziffern und Buchstaben abgekürzt. Führende Ziffern (z.B. 2) weisen auf eine Frequenzvervielfachung (z.B. Verdopplung) gegenüber der Hauptkomponente hin (Harmonische der Grundfrequenz). Die nachfolgenden Großbuchstaben (zwei oder mehr) geben die Zusammensetzung der Tide aus den Hauptkomponenten an. Der nachlaufende Index 1, 2, 3, usw. bezeichnet wie schon bei den Hauptkomponenten die (ungefähre) tägliche Eintrittshäufigkeit (tägliche, halbtägige, usw. Wiederkehr). Die Frequenz der zusammengesetzten Tide ergibt sich dabei als Summe oder Differenz der Frequenzen der Hauptkomponenten.

Die nachfolgende Tabelle gibt eine Zusammenstellung verschiedener wichtiger Flachwasserkomponenten der Gezeiten und ihren Zusammenhang mit den Hauptkomponenten der Gezeiten an.

Tabelle ausgewählter Flachwasserkomponenten der Gezeiten
Abkürzung	Zusammensetzung	Charakter
MP1	M2 - P1	ganztägige Gezeit
SO1	S2 - O1	ganztägige Gezeit
MNS2	M2 + N2 - S2	halbtägige Gezeit
2MS2	2M2 - S2	halbtägige Gezeit
MSN2	M2 + S2 - N2	halbtägige Gezeit
2SM2	2S2 - M2	halbtägige Gezeit
MO3	M2 + O1	dritteltägige Gezeit
MK3	M2 + K1	dritteltägige Gezeit
MN4	M2 + N2	vierteltägige Gezeit
M4	2M2	vierteltägige Gezeit
MS4	M2 + S2	vierteltägige Gezeit
MK4	M2 + K2	vierteltägige Gezeit
S4	S2 + S2	vierteltägige Gezeit
M6	3M2	sechsteltägige Gezeit
2MS6	2M2 + S2	sechsteltägige Gezeit
M8	4M2	achteltägige Gezeit

Harmonische Analyse der Gezeiten

Für jeden Ort sind auf Grund der dynamischen Theorie der Gezeiten zunächst einmal nur die Perioden der Partial- oder Teiltiden bekannt, nicht aber deren Amplitude und Phase. Aus Gezeitenbeobachtungen oder den Ergebnissen numerischen Simulationsrechnungen können, falls hinreichend lange Zeitreihen des Wasserstandes vorliegen, beide Unbekannte (Amplitude und Phase) abgeleitet werden. Dieses Verfahren wird Harmonische Analyse der Gezeiten genannt. Das Verfahren der Harnonischen Analyse ist eine spezielle Form der Fourierzerlegung einer Zeitreihe. Sind die Amplituden und Phasen der Partialtiden eines Ortes bekannt so kann mittels Harmonischer Synthese der Gezeiten, d.h. Summation der Partialtiden, eine Vorhersage des Wasserstandes für einen vorgegebenen Zeitraum erfolgen.

Diese Gezeitenmaschine wurde von Kelvin im Jahre 1873 konstruiert, basierend auf Ideen von Beauchamp Tower's, und ist zur Summation mehrerer trigonometrischer Funktionen mit voneinander unabhängigen Perioden geeignet. Die Gezeitenmaschine wurde erstmals 1876 im Kensington Museum gezeigt, wo sie sich auch heute noch befindet. Sie diente der Summation der Partialtiden M2, S2, N2, K1, O1, K2, L2, P1, M4 und MS4. In dieser Reihenfolge sind sie von links nach rechts in der dargestellten Maschine realisiert. Siehe auch: KELVIN (= Sir William Thomson, Baron Kelvin), The tidal gauge, tidal harmonic analyser, and tide predicter, in Kelvin, Mathematical and Physical Papers (Volume VI), Cambridge 1911, pp 272-305. [From the Minutes of the Proceedings of the Institution of Civil Engineers, March 11, 1882.]

Halbmonatliche Ungleichheit der Gezeiten

Die M2-Gezeit und die S2-Gezeit Diese Komponente beschreibt den Effekt der Erdrotation in Bezug auf die Sonne. S2-Gezeit sind die dominanten Komponenten der halbtägigen Gezeiten. Da die M2-Gezeit an jedem Tag hinter der S2-Gezeit zurückbleibt, stimmen die Phasen beider Partialtiden nur ca. alle 14 3/4 Tage überein. Dann addieren sich die Amplituden (M2 + S2) und es ist Springzeit. Dazwischen subtrahieren sich die Amplituden (M2 - S2) und es ist Nippzeit.

Die Amplitude der S2-Gezeit bestimmt die halbmonatliche Ungleichheit wesentlich. Die Phasendifferenz zwischen den beiden Komponenten (S2 - M2) kann auch dazu benutzt werden, um die Verspätung der Springzeit gegenüber Neu- und Vollmond - hier addieren sich die Gezeitenkräfte von Sonne und Mond - zu ermitteln. Dieser Zeitabstand wird auch als das Alter der Gezeit bezeichnet.

Aus der ähnlich gearteten Überlagerung der dominanten ganztägigen Gezeiten (K1-Gezeit und O1-Gezeit) ergibt sich der Spring Nipp Zyklus für die ganztägigen Gezeiten, welcher eine Periode von ca. 13 2/3 Tagen aufweist. Die unterschiedlichen Perioden der Spring Nipp Zyklen der ganz- und halbtägigen Gezeiten - die Differenz beträgt ca. 1 1/8 Tage - rufen eine Modulation der halbmonatlichen Ungleichheit in längeren Zeiträumen hervor.

Tägliche Ungleichheit der Gezeiten

Die tägliche Ungleichheit ist ein Ergebnis der Überlagerung von ganz- und halbtägigen Gezeitenkomponenten. Je größer die Amplitudensumme der ganztägigen Gezeiten im Vergleich mit der Amplitudensumme der halbtägigen Gezeiten ist, um so ausgeprägter tritt die tägliche Ungleichheit in Erscheinung.

Daher vermittelt die aus den Amplituden der Partialtiden S2, M2, K1 und O1 berechnete Formzahl der Gezeiten F, mit F = (K1 + O1)/(M2 + S2) Informationen über die tägliche Ungleichheit bzw. die Form der Gezeitenkurve während eines Tages.

Es gilt folgende Einteilung:

F = 0.00 - 0.25:halbtägige Gezeitenform
F = 0.25 - 1.50:gemischte, überwiegend halbtägige Gezeitenform
F = 1.50 - 3.00:gemischte, überwiegend ganztägige Gezeitenform
F > 3.00:ganztägige Gezeitenform

Bei der halbtägigen Gezeitenform treten zwei Hoch- und Niedrigwasser von annähernd gleicher Größe auf. Dies ist auch noch bei der gemischten, überwiegend halbtägigen Gezeitenform der Fall, allerdings sind Höhe und Zeit stark voneinander verschieden. Beim Übergang zur gemischten, überwiegend ganztägigen Gezeitenform tritt gelegentlich nur noch ein Hochwasser sowie starke Ungleichheiten bezüglich Höhe und Zeit auf. Bei der ganztägigen Gezeitenform tritt fast immer nur noch ein Hochwasser auf. An den Küsten in der Deutschen Bucht herrschen halbtägige Gezeitenformen vor.

Motivation der Durchführung einer Harmonischen Gezeitenanalyse

Die Berechnung und graphische Darstellung von Amplitude und Phase der Partialtiden des Wasserstandes dient der Beschreibung des Systemverhaltens in den durch die Gezeitendynamik dominierten norddeutschen Küstengewässer und Ästuarien.

• Ein Vergleich zwischen aus Gezeitenbeobachtungen und numerischen Modellrechnungen (siehe auch mathematische Verfahren) abgeleiteten Werten für Amplitude und Phase der analysierten Partialtiden bietet ein qualtitativ hochwertiges Instrument für die Verifikation von Modellverfahren, da hierbei Gezeitenspektren einander gegenübergestellt werden und somit Abweichungen in bezug auf Amplitude und Phase präzise quantifiziert werden können.
• Die räumliche Variation des Gezeitenspektrums in einem Untersuchungsgebiet vermittelt einen Eindruck von den durch topographische Effekte, nichtlineare physikalische Prozesse, Resonanzeffekte und Reflexionserscheinungen ausgelösten Veränderungen. Die Herstellung eines Zusammenhangs zwischen Ursache und Wirkung ist damit teilweise möglich.

• Die Veränderung der relativen Phasenlage sowie des Amplitudenverhältnisses zwischen verschiedenen Partialtiden (z.B. zwischen der M2-Tide und ihren Harmonischen M4, M6 und M8) steht in einem direkten Zusammenhang mit der Asymmetrie der Tidekurve (unterschiedliche Dauer von Tidestieg und Tidefall, Ungleichheit zwischen Hoch- und Niedrigwasser). Asymmetrien stehen häufig in einem direkten Zusammenhang mit Residuen des Wasser-, Salz- und Sedimenttransports. Zusammenhänge zwischen hydrodynamischem Geschehen und Transportprozessen können auf diesem Wege aufgezeigt werden.

Graphische Darstellung der Überlagerung der Partialtiden M2 und M4. Diese Darstellung ist zusätzlich auch als Encapsulated PostScript Datei erhältlich.

Graphische Darstellung der Überlagerung der Partialtiden M2 und M6. Diese Darstellung ist zusätzlich auch als Encapsulated PostScript Datei erhältlich.

Graphische Darstellung der Überlagerung der Partialtiden M2 und M4 bzw. M6 beim Entstehen eines doppelten Hoch-/Niedrigwassers. Diese Darstellung ist zusätzlich auch als Encapsulated PostScript Datei Datei erhältlich.

Eine automatische Berechnung der Partialtiden des Wasserstandes wird von den Programmen FRQWF und NCANALYSE durchgeführt. Eine Harmonische Synthese kann mit dem Program FRQ2ZEITR für Einzelpositionen durchgeführt werden.

Berechnungsergebnisse einer Partialtiden-Analyse

Für die Analyse wird die Least Square Fit Methode (LSQF) verwendet. In den Programmen FRQWF und NCANALYSE wird hierfür u. a. auf Methoden des Softwarepaketes LAPACK zurückgegriffen.

Für jede Partialtide werden die nachfolgend aufgezählten Größen berechnet.

Amplitude

Amplitude einer Partialtide.
Beispielgrafik noch nicht vorhanden.
Analyseprogramme: FRQWF und NCANALYSE.

Phase

Phasenlage einer Partialtide.
Beispielgrafik noch nicht vorhanden.
Analyseprogramme: FRQWF und NCANALYSE.

Fehler der Amplitude

Fehler der Amplitude einer Partialtide bei Verwendung der LSQF-Methode.
Beispielgrafik noch nicht vorhanden.
Analyseprogramme: NCANALYSE.

Fehler der Phase

Fehler der Phasenlage einer Partialtide bei Verwendung der LSQF-Methode.
Beispielgrafik noch nicht vorhanden.
Analyseprogramme: NCANALYSE.

Verstärkung der Amplitude

Verstärkung der Amplitude in Bezug auf die für eine Referenzposition berechnete Amplitude.
Beispielgrafik noch nicht vorhanden.
Analyseprogramme: NCANALYSE.

Phasendifferenz

Phasendifferenz in Bezug auf die für eine Referenzposition berechnete Phase.
Beispielgrafik noch nicht vorhanden.
Analyseprogramme: NCANALYSE.

Schiefe

Berechnung der Schiefe (Summe der Beiträge aller Partialtiden) nach Song (2011), Gl. 16 aus Amplitude, Phase und Frequenz aller Partialtiden.
Beispielgrafik noch nicht vorhanden.
Analyseprogramme: NCANALYSE.

Schiefe aller Paare und Tripletts

Berechnung der Schiefe aller Paare und Tripletts geeigneter Partialtiden nach Song (2011), Gl. 20 und Gl. 21 aus Amplitude, Phase und Frequenz der beteiligten Partialtiden.
Beispielgrafik noch nicht vorhanden.
Analyseprogramme: NCANALYSE.

Glossar zur Gezeitenanalyse

Ssa-Gezeit: halbjährliche solare Gezeit. In Kombination mit der ganzjährigen solaren Gezeit Sa, beschreibt diese den Einfluß der unterschiedlichen Deklination und des Abstands der Sonne zur bzw. von der Erde. Praktisch überwiegen in dieser Komponente meist die den Meeresspiegel beeinflussenden meteorologischen Variationen.

Mm-Gezeit: monatliche lunare Gezeit. In dieser Komponente drücken sich die Veränderungen des Abstands Erde-Mond sowie der Umlaufgeschwindigkeit des Mondes bei seinem Umlauf um die Erde aus.

Mf-Gezeit: vierzehntägige lunare Gezeit. Diese Komponente beschreibt den Einfluß der Abweichungen von einem sinusförmigen Verlauf der Deklination des Mondes bei seinem Umlauf um die Erde.

O1-Gezeit: tägliche lunare Gezeit. Zusammen mit der K1-Gezeit beschreibt diese Gezeit den Einfluß der Deklination des Mondes. Beide tragen maßgeblich zur täglichen Ungleichheit bei.

Q1-Gezeit: große tägliche lunare elliptische Gezeit. Berücksichtigt den Effekt der elliptischen Mondumlaufbahn und moduliert Amplitude und Frequenz der O1-Gezeit.

K1-Gezeit: luni-solare tägliche Gezeit. Zusammen mit der O1-Gezeit beschreibt diese Gezeit den Einfluß der Deklination des Mondes. Beide tragen maßgeblich zur täglichen Ungleichheit bei. In Kombination mit P1 wird auch der Einfluß der Deklination der Sonne beschrieben.

P1-Gezeit: solare tägliche Gezeit. Siehe K1-Gezeit.

L2-Gezeit: kleinere lunare elliptische halbtägige Gezeit. Diese Komponente moduliert zusammen mit der N2-Gezeit Amplitude und Frequenz der M2-Gezeit. Damit wird der Effekt der elliptischen Mondbahn auf die Bahngeschwindigkeit des Mondes berücksichtigt.

N2-Gezeit: größere lunare elliptische halbtägliche Gezeit. Siehe L2-Gezeit.

M2-Gezeit: lunare halbtägige Hauptgezeit. Diese Komponente beschreibt den Effekt der Erdrotation in Bezug auf den Mond.

S2-Gezeit: solare halbtägige Hauptgezeit. Diese Komponente beschreibt den Effekt der Erdrotation in Bezug auf die Sonne.

K2-Gezeit: luni-solare halbtägige Gezeit. Diese Komponente moduliert Amplitude und Phase der M2- und der S2-Gezeit. Sie beschreibt den Effekt der wechselnden Deklination von Mond und Sonne.

Literatur

CARTWRIGHT, 1999

D.E. Cartwright, 1999, Tides - A Scientific History; Cambridge University Press

DEFANT, 1953

Albert Defant, 1953, Ebbe und Flut des Meeres, der Atmosphäre und der Erdfeste, Springer Verlag.

DIETRICH u.a, 1975

G. Dietrich, K. Kalle, W. Krauss, G. Siedler, 1975, Allgemeine Meereskunde, Kap. 9: Gezeitenerscheinungen, 3. Auflage, Gebr. Bornträger.

DHI, 1967

Deutsches Hydrographisches Institut, 1967, Tafeln der astronomischen Argumente V0 + v und der Korrektionen j, v zum Gebrauch bei der harmonischen Analyse und Vorausberechnung der Gezeiten für die Jahre 1900 bis 1999, (in German language), DHI Nr. 2276.

Godin, 1988

G. Godin, 1988 Tides, ANADYOMENE Edition, Ottawa

Horn, 1948

W. Horn, 1948, Über die Darstellung der Gezeiten als Funktion der Zeit, (in German language), Deutsche Hydrogr. Zeitschr. 1, Nr. 4.

PUGH, 1987

David T. Pugh, 1987, Tides, Surges and Mean Sea Level, John Wiley and Sons.

PUGH, 2004

David T. Pugh, 2004, Changing Sea Levels: Effects of Tides, Weather and Climate; Cambridge University Press

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