Programm "PeTra"

Pegelabhängige Trassierung von Fahrrinnen in fließenden Gewässern

Bild 1: Begegnung Schubverband mit Fahrgastschiff auf dem Rhein an der Loreley

In Vorbereitung einer Ausbauplanung für Fahrrinnen bzw. der Durchführung einer Befahrbarkeitsanalyse in fließenden Gewässern werden für jedes Gewässer von den zuständigen Verwaltungen Ausbaugrundsätze erlassen. Zumeist bauen diese Ausbaugrundsätze auf die "Richtlinien für Regelquerschnitte von Schifffahrtskanälen" (siehe Verfahren Trasse) auf. Im Detail bedeutet dies, dass für die Berechnung der notwendigen Fahrspurbreiten für ein Binnenschiff die Formel von Graewe genutzt wird. Für die Fahrt in dem fließenden Gewässer werden allerdings neue Vorgaben für die anzusetzenden Driftwinkel getroffen, die meist durch fahrdynamische Naturuntersuchungen in dem betreffenden Gewässer ermittelt werden. Nachteil dieser Verfahrensweise ist, dass die Ergebnisse aus den Naturmessungen nur für das untersuchte Abflussgeschehen gelten. Streckenabhängige Unterschiede bei den Fließgeschwindigkeiten werden bei dieser Verfahrensweise nicht berücksichtigt. Darüber hinaus muss bei der Erstellung der Ausbaugrundsätze so lange mit den Messungen gewartet werden, bis sich die gewünschten Abflussverhältnisse eingestellt haben.

Um diese Nachteile zu umgehen und die kostenintensiven Naturmessungen auf ein Minimum zu reduzieren, wurde auf das Verfahren "Trasse" aufbauend eine Methode entwickelt, bei der der Einfluss der Fließgeschwindigkeit auf den Verkehrsflächenbedarfs eines Binnenschiffes rechnerisch abgeschätzt werden kann.

Zielstellung der Software

Da sich das Prinzip der Einzelpositionierung bei der Planung von Fahrrinnen in nicht fließenden Gewässern bewährt hat, wurde versucht, dieses auf Fließgewässer zu übertragen. Ausschlaggebend für diese Technik sind Kenntnisse über die Lage des taktischen Drehpunktes am Schiff. Durch Naturmessungen konnte nachgewiesen werden, dass sich Position des taktischen Drehpunktes analog zu den nicht fließenden Gewässern unabhängig vom Kurvenradius ist, sich aber in Abhängigkeit der Fließgeschwindigkeit, Fahrgeschwindigkeit und Fahrtrichtung ändert. So ergaben sich folgende Zielstellungen an die zu entwickelnde Software:

• Der Einfluss der Fließgeschwindigkeit des Gewässers sowie der Fahrgeschwindigkeit und Fahrtrichtung des Schiffes auf den Verkehrsflächenbedarf eines Binnenschiffes muss berücksichtigt werden.
• Das Verfahren soll für alle in der Binnenschifffahrt vorkommenden Schiffstypen gelten.
• Es sollen Kurvenradien von der Geradeausfahrt bis runter zu einer Größe von einer Schiffslänge berücksichtigt werden.
• Die Ergebnisse der Trassierung sollen sich in das CAD- System der Wasserstraßenverwaltung MicroStation integrieren lassen.

Theoretische Grundlagen des Verfahrens

Bei der Entwicklung einer Rechenmethode, die die genannten Anforderungen erfüllt, waren zwei grundsätzliche Probleme zu lösen. Das eine Problem zu Modellierung der Einflüsse der Fließgeschwindigkeit wurde bereits genannt und wird hier später behandelt. Das zweite Problem betrifft die Vorgabe einer Kursachse (Die Notwendigkeit für das Vorhandensein einer derartigen Kursachse wurde bereits bei dem Verfahren TRASSE erläutert.), die die Denkweise eines Schiffsführers nachempfindet. Für ein nicht fließendes Gewässer kann diese direkt konstruiert werden, da der Verlauf den Kursachse nur von wenigen nautischen Randbedingungen abhängt (tangentialer Übergang Gerade-Kreis-Gerade, Mindestradius > als Schiffslänge). In einem Fließgewässer mit einer genügend breiten Fahrrinne (z.B. Rhein) berücksichtigt der Schiffsführer bei der Wahl seines Kurses die örtlichen Gegebenheiten. Da die Fahrrinne in einem natürlichen Gerinne liegt, hat sie weder eine ebene Sohle noch ein Regelprofil. Die Wassertiefen- und die Strömungsgeschwindigkeitsverteilungen im Flussbett bestimmen wesentlich den Kurs, den ein erfahrener Schiffsführer wählt. Auch die Größe eines Schiffes und sein Tiefgang beeinflussen den Weg. So wird ein tief abgeladener Gefahrguttanker sich mehr nach den Wassertiefen orientieren und ein Containerschiff mit vergleichsweise geringem Tiefgang mehr nach den Fließgeschwindigkeiten, wodurch beide Schiffe trotz gleicher Abmessungen unterschiedliche Wege wählen. Ändern sich die Schiffsabmessungen, so ändert sich auch der erforderliche Verkehrsflächenbedarf des Schiffes und in der Folge können sich bei gleichen Abflussverhältnissen deutlich andere optimale Verkehrswege auftun.

Theoretische Grundlagen zur Kursachsengenerierung für Binnenschiffe in frei fließenden Gewässern

Bild 2: Ermittlung des Gesamtpotentials für eine Serie von Profilbereichen (Breite b)

Bild 3: Gerechnetes Überholmanöver

Bei der Entwicklung der Methode zur automatischen Generierung von Kursachsen wurde versucht, die Denkweise eines Schiffsführers nachzuempfinden. Als Ausgangsdaten für die Erstellung einer Kursachse müssen Informationen über die Fahrrinne :

• Fahrrinnenbegrenzung,
• Fahrrinnenbreite,
• Kurvenradien,
• Verkehrsregeln,
• Brückendurchfahrten,
• Fahrrinnenteilungen etc.

das Schiff:

• Abmessungen wie Länge und Breite,
• Tiefgang,
• Fahrdynamische Eigenschaften (geschätzte Position des taktischen Drehpunktes) etc.

die die Kursachse beeinflussenden Gewässerparameter:

• Tiefenverteilung über das Querprofil,
• Verteilung der Strömungsgeschwindigkeiten über das Querprofil,
• Pegelstand etc.

zur Verfügung stehen.

Damit die unterschiedlichen Parameter einer einheitlichen Bewertung unterzogen werden können, wird der Begriff des Befahrbarkeitspotenzials eingeführt, wobei alle o. g. Parameter in ein Potenzial überführt werden können. Für diese Umrechnung müssen alle Fahrrinnenparameter über das Querprofil verteilt als Streifeninformation vorliegen (z.B. tiefengemittelte Geschwindigkeitsstreifen mit endlicher Breite etc.). Die Normierung der Parameterwerte der einzelnen Streifen auf einer Skala von 0 bis 100 zu Potenzialen ermöglicht eine Bewertung der Befahrbarkeit der Profilabschnitte hinsichtlich dieses Parameters. Gleichzeitig gestattet sie den Vergleich und die Überlagerung der Potenzialverläufe verschiedener Parameter, so dass letztendlich eine Gesamtbewertung der Befahrbarkeit jedes Profilquerschnitts möglich wird.

Die Umrechnung der Potenziale geschieht wie folgt. Sofern ein großer Parameterwert als optimal angesehen wird, entspricht das Maximum im Profil einem Potenzial von 100. Andernfalls wird dem größten Parameterwert das kleinste Potenzial 1 zugeordnet (z.B. Fließgeschwindigkeit, Der Bergfahrer sucht langsames Wasser – größte Geschwindigkeit wird Potenzial 1- und der Talfahrer schnelles Wasser - maximale Geschwindigkeit wird Potenzial 100). Nur dann, wenn ein Profilbereich bei Überschreitung eines Parametergrenzwertes als nicht befahrbar gelten soll, wird das Potenzialminimum 0 verwendet. Das trifft für die Parameter Wassertiefe, Fahrrinnenbegrenzung und Rechtsverkehrs zu, um die Profilstreifen außerhalb der Fahrrinne ggf. als grundsätzlich als nicht befahrbar zu bewerten oder die Einhaltung von Rechtsverkehr zu erzwingen.

Das Potenzial P_i eines einzelnen Parameters im i-ten Profilstreifen ergibt sich damit wie folgt:
Falls der Maximalwert des Parameters als optimal ist gilt:

[math]\displaystyle{ P_i = P_{min} + \left[(P_{max} - P_{min}) * \frac{W_i - W_{min}}{ W_{max}-W_{min}}\right] }[/math]

Falls ein kleiner Parameterwert angestrebt wird gilt:

[math]\displaystyle{ P_i = P_{min} + \left[(P_{max} - P_{min}) * \frac{W_{max} - W_i}{ W_{max}-W_{min}}\right] }[/math]

Pi	Potenzial im i-ten ProfilbereichBAW
Pmin	niedrigstes Potenzial (immer Pmin=1)
Pmax	höchstes Potenzial (immer 100)
Wi	Parameterwert im i-ten Profilstreifen
Wmin	kleinster Parameterwert auf gesamten Profilschnitt
Wmax	größter Parameterwert auf gesamten Profilschnitt

Bei der Bewertung der Wassertiefe ergibt sich der Wert aus folgender Differenz:

[math]\displaystyle{ W_i = T_{DIFFi} = T_{Wi} - (T_T + T_S + T_F) }[/math]

TDIFFi	Tiefendifferenz im i-ten Profil-Bereich
TWi	Wassertiefe im i-ten Profil-Bereich (aus Parameterdatei)
TT	Tiefgang des Schiffes
TS	Squat des Schiffes
TF	Flottwasser

Analog dazu werden die größte und kleinste Tiefendifferenz auf dem Profilschnitt ermittelt und W_min und W_max in der Gleichung (1) verwendet. Falls die Tiefendifferenz einen Wert kleiner 0 annimmt, ist der Profilbereich nicht befahrbar und das Potenzial wird auf 0 gesetzt. Andernfalls bewegt es sich zwischen 1 und 100.

Für die Gesamtbewertung der Befahrbarkeit unter Einbeziehung aller verfügbaren Gewässerparameter werden entlang jeder Profilschnittlinien k gleich große Bereiche (Breite b) herangezogen, die mit einer Schrittweite s vom Beginn des ersten verfügbaren Potentialstreifens an bis zum Ende des letzten Potentialstreifens erzeugt werden (Bild 2). Als Schrittweite s wird eine halbe Schiffsbreite (B/2) verwendet. Die Breite b des Profilbereichs entspricht der minimalen erforderlichen Torbreite und ist sowohl von den Schiffsabmessungen (B, L) und seinem Cf-Wert als auch vom Radius der Kursachse abhängig. Da die Kursache noch nicht existiert, wird stattdessen der Radius der Fahrrinne Rf im Profil-km verwendet.

[math]\displaystyle{ b = B \;\;\; }[/math] bei gerader Strecke

ansonsten bei Kurve

[math]\displaystyle{ b = \sqrt{ (|R_f|+ B )^2 + (Cf*L)^2} - R_f \;\;\; }[/math] falls 0.5 <=Cf < 1.0 bzw.

[math]\displaystyle{ b = \left(\sqrt{ (|R_f|+ B )^2 + (Cf*L)^2} -R_f\right) - \left(\sqrt{(R_f^2 + ((Cf-1)*L))^2} - R_f\right) \;\;\; }[/math] falls 1.0 <=Cf < 1.5

Für jeden der n Gewässerparameter wird der Potenzialmittelwert P_i im Bereich b ermittelt. Dabei wird berücksichtigt, dass sowohl die Breite s_i der Potenzialstreifen variabel sein kann als auch, dass sich die Streifen und Profilbereiche überschneiden können. Die Summe der n Mittelwerte P_i unter Berücksichtigung der Wichtung w_i jedes Gewässerparameters ergibt dann für jeden der k Profilbereiche die zur Bewertung verwendete Potentialsumme P_bSUM:

[math]\displaystyle{ P_{bSUM} = P_1 * w_1 + P_2 * w_2 + ... + P_n * w_n }[/math]

Zusätzlich hat der Programmnutzer die Möglichkeit, Wichtungen für jeden Parameter vorzugeben, um den Einfluss jedes Parameters auf das Bewertungsergebnis zu steuern. Der Profilbereich mit der höchsten Potenzialsumme gilt als optimal befahrbar und wird nachfolgend als "Passagetor" bzw. "Tor" bezeichnet, das von der Kursachse durchlaufen werden sollte. Sofern es auf einem oder mehreren Profilen Bereiche mit ähnlich hoher Potenzialsumme gibt (Toleranzbereich vom Anwender definierbar), entstehen auf diesen Profilschnitten mehrere gleichwertige Tore und damit eine Vielzahl möglicher Kursachsenverläufe, aus denen das Programm jenen mit dem kürzesten Weg ermittelt.

Zusätzlich zu den genannten Randbedingungen ist es möglich, die Verkehrssituation bei der Berechnung der Kursachsen zu berücksichtigen. In diesem Fall werden die Daten mehrerer Schiffe vorgegeben. Das Programm muss darüber hinaus die Positionen aller Verkehrsteilnehmer (km entlang des Gewässerverlaufs) in einem vorgegebenen Berechnungszeittakt ermitteln können. Als Datenbasis dient dazu eine Ortskurve pro Schiff, die dessen km-Position zu diskreten Zeitpunkten enthält. Der Einfluss jedes Schiffes auf andere Wasserfahrzeuge wird durch eine parametrisierbare Potenzialsenke um den Schiffskörper herum beschrieben, die ggf. die Lage der Passagetore der Fremdschiffe auf den Profilschnitten und damit deren Kursachse beeinflusst. Nach Abschluss der verkehrsabhängigen Kursachsenberechnung kann die zeitgenaue Bewegung aller beteiligten Schiffe mit voreinstellbarer Ablaufgeschwindigkeit dargestellt werden (Bild 3). Sobald die Modellkursachsen erzeugt wurden, werden diese Routen zur Visualisierung des Verkehrs verwendet.

Nachdem die Kursachsen berechnet werden können, muss die Fahrdynamik modelliert werden, mit dem Ziel, die Position des taktischen Drehpunktes in Abhängigkeit der örtlichen Randbedingungen zu bestimmen.

Theoretische Grundlagen zur Modellierung der Fahrdynamik eines Binnenschiffs in einem frei fließenden Gewässer

Bei der Fahrt in einem nicht fließenden Gewässer hängt der Verkehrsflächenbedarf für ein Schiff allein von den Schiffsabmessungen und den zu fahrenden Kurvenradien und damit verbunden von dem zugehörigen Driftwinkel ab. Denn in der Kurvenfahrt nimmt das Schiff eine Drift ein, wodurch der Schiffskörper schräg von dem Wasser angeströmt wird. Aus dieser Schräganströmung resultieren hydraulische Querkräfte, welche die Fliehkräfte infolge der Fahrt auf der gekrümmten Bahn kompensieren. Dabei ist die Fahrgeschwindigkeit gegen Land, welche die Größe der Fliehkräfte beeinflusst, gleich der Geschwindigkeit gegen Wasser, welche die Größe der hydraulischen Querkräfte bestimmt. Bewegt sich das Schiff in einem fließenden Gewässer, so unterscheiden sich die Geschwindigkeiten gegen Land von denen gegen Wasser, je nach dem, ob sich das Schiff in der Bergfahrt oder der Talfahrt befindet. Bei der Bergfahrt ist die Geschwindigkeit gegen Wasser größer als gegen Land. Mit der größer werdenden Anströmgeschwindigkeit wachsen die hydraulischen Querkräfte, wodurch die Drift verringert wird und der Verkehrsflächenbedarf sinkt. Bei der Talfahrt dagegen verringert sich die Geschwindigkeit gegen Wasser. Infolge der damit verbundenen Verringerung der hydraulischen Querkräfte muss der Driftwinkel in der Kurvenfahrt vergrößert werden und der Verkehrsflächenbedarf steigt.

Formulierung eines mathematisch-physikalischen Ansatzes

Das hydronumerische Modell wird zunächst für die stationäre Kreisfahrt entwickelt. Durch diese Vereinfachung kann das fahrdynamische Problem auf folgenden physikalischen Sachverhalt zurückgeführt werden. Eine Masse bewegt sich auf einer Kreisbahn. Infolge der Kreisbewegung entstehen Fliehkräfte. Äußere Kräfte müssen die Fliehkräfte kompensieren, damit die Masse weiter auf der Kreisbahn bleibt. Bei der Fahrt eines Schiffes werden diese äußeren Kräfte erzeugt, in dem der Schiffsführer durch gezielte Rudermanöver dafür sorgt, dass sich ein Driftwinkel einstellt. Infolge der Drift wird der Schiffskörper schräg angeströmt und es entstehen hydraulische Querkräfte, die mit den Fliehkräften im Gleichgewicht stehen.

Berechnung der Fliehkräfte

Bild 4: Definition des schiffsfesten Koordinatensystems

Die Herleitung der Bewegungsgleichung zur Ermittlung der Fliehkräfte basiert auf den Kirchhoffschen Bewegungsgleichungen für einen starren Körper /1/. Die Bewegungsgleichungen sind auf ein schiffsfestes Koordinatensystem bezogen, dessen x-Achse auf der Mittschiffsebene liegt. Die positive y-Achse weist in die Innenkurve. Der Koordinatenursprung befindet sich in der Schiffsmitte (Bild 4).

Nach /2/ wurden die Kirchhoffschen Bewegungsgleichungen derart weiterentwickelt, dass sich Kraftgleichungen in x- und y-Richtung ergeben. Diese lauten wie folgt:
[math]\displaystyle{ Fx(t) = (m + mx) \frac{d}{dt}Vx g(t) - (m + my) Vy g(t) \omega }[/math]
[math]\displaystyle{ Fx(t) = (m + my) \frac{d}{dt}Vy g(t) + (m + mx) Vx g(t) \omega }[/math]

In diesen Bewegungsgleichungen sind Fx und Fy die Kraftkomponenten in den entsprechenden Richtungen des schiffsfesten Koordinatensystems. Die Schiffsgeschwindigkeit tangential zur Bewegungsbahn wurde ebenfalls in diese Komponenten zerlegt. Sie entspricht der Schiffsgeschwindigkeit über Grund, da diese für die Trägheitskräfte verantwortlich ist. Weiterhin ist m die Schiffsmasse und ω die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um die Hochachse. Da sich ein Schiff im Wasser bewegt, setzt es mit seiner Eigenbewegung eine Wassermasse in Bewegung. Deshalb muss die Schiffsmasse, im Gegensatz zu einer Bewegung im Vakuum, bei der Fahrt durch Wasser um die hydrodynamischen Massen (mx und my) vergrößert werden.

Die Kraftkomponenten der x- und y-Richtung werden auf den tangentialen und radialen Anteil zur Bahn umgerechnet. Für das aufzustellende Modell wird hier nur der radiale Kraftanteil betrachtet werden.

[math]\displaystyle{ Fra(t) = -Fx \sin(\delta(t)) - Fy \cos(\delta(t)) }[/math]

Setzt man voraus, dass sich in der Kurvenfahrt die Geschwindigkeit und der Driftwinkel nicht ändern, werden ihre Ableitungen nach der Zeit zu 0. Wird darüber hinaus die dimensionslose Bahnkrümmung Ω eingeführt, kann die Differentialgleichung wie folgt vereinfacht werden.

[math]\displaystyle{ Fra(t) = -\Omega \frac{Vg(t)^2}{L} [m+\sin(\delta(t))^2) my + \cos(\delta(t))^2 mx] }[/math]

Dabei gilt:

[math]\displaystyle{ \Omega = \frac{\omega}{Vg(t)} L }[/math]

L ist die Schiffslänge.

Berechnung der hydraulischen Kräfte infolge Schräganströmung

Bild 5: Hydrodynamische Kräfte in der Kontrollebene dx

Bei der gesteuerten Bewegung erzeugt der Schiffsführer mit Hilfe gezielter Rudermanöver am Heck eine Querkraft. Infolge dieser Kraft dreht sich der Schiffskörper. Durch die Überlagerung der Fortschrittsgeschwindigkeit und der Drehung wird der Schiffskörper durch das Wasser schräg angeströmt. Diese Schräganströmung erzeugt eine Querkraft, die bei Einhaltung der Gleichgewichtsbedingung das Schiff auf einer Kreisbahn fahren lässt.

Für die Berechnung der hydraulischen Querkräfte wird eine Impulsanalyse am Schiffskörper /3/ vorgenommen. Hierbei wird die Anströmgeschwindigkeit tangential zur Bewegungsrichtung in ihre Komponenten längs und quer zum Schiffslängsachse zerlegt. Weiterhin wird angenommen, dass die Wassermasse, die quer auf den Schiffskörper trifft, vom Schiffskörper umgeleitet wird. Infolge der zeitlichen Änderung des Impulses der Flüssigkeit innerhalb einer Kontrollebene mit der differentiellen Breite dx (Bild 5) entsteht eine örtliche Querkraft am Schiffskörper.

Die y-Komponente des hydrodynamischen Impulses in der Kontrollebene, der durch die Schiffsgeschwindigkeit relativ zum Wasser Vw ausgelöst wird, ist:

[math]\displaystyle{ dI_{Fl}=\tilde{m}y(x) \, Vw(t) \, \sin(\delta(x)) dx }[/math]

Der von der Position längs der Schiffsachse abhängige Driftwinkel δ(x) wird in einen zeitabhängigen Driftwinkel überführt, indem die Fortschrittsgeschwindigkeit V(t)•sin(δ(t)) und die Queranströmung aus der Drehung um die z-Achse -ω•x überlagert werden. Es folgt:

[math]\displaystyle{ \sin(\delta(x)) = \sin(\delta(t)) - \frac{x}{R} }[/math]

Berechnung der hydrodynamischen Masse

Wird ein Körper in einem Vakuum beschleunigt, so muss eine Kraft auf ihn einwirken, die seine Massenträgheit überwindet. Bewegt sich der Körper in Wasser, so müssen zusätzlich Flüssigkeitsteilchen beschleunigt werden, damit diese dem Körper ausweichen und den frei gewordenen Raum an der vorherigen Position des Körpers wieder auffüllen können. Dem Wasser wird also infolger der Beschleunigung des Körpers kinetische Energie zugeführt. Setzt man dies in die Ausgangsbeziehung ein, gilt für die kinetische Energie, die dem Fluid infolge der beschleunigten Bewegung eines Körpers zugeführt wird:

[math]\displaystyle{ E_{Fl}=-\frac{\rho}{2} \int_A \Phi \frac{\partial \Phi}{\partial n} dA }[/math]

Mit dieser Beziehung kann bei bekanntem Geschwindigkeitspotenzial die kinetische Energie,

[math]\displaystyle{ E = \frac{m}{2} \nu^2 }[/math]

die dem Fluid zugeführt wird, berechnet werden. Analog zur Bewegung einer Masse im Vakuum kann die kinetische Energie nach der bekannten Formel berechnet werden. Nutz man diese Definition, kann man schließlich die kinetische Energie als eine Masse, der sogenannten hydrodynamischen Masse, ausdrücken, die in den Bewegungsgleichungen zu der Schiffmasse hinzu addiert wird. Die hydrodynamische Masse m̃y(x) (pro Längeneinheit) kann unter Nutzung der

[math]\displaystyle{ m_h = -\frac{\rho}{\nu^2} \int_A \Phi \frac{\partial \Phi}{\partial n} dA }[/math]

Trägheitskoeffizienten nach Lewis /4/ berechnet werden. Danach gilt:

[math]\displaystyle{ \tilde{m}y(x) = \frac{\rho}{2} \pi c(x) T(x)^2 }[/math]

Hierbei ist c(x) der Lewiskoeffizient an der Stelle x des Schiffskörpers entsprechend der dortigen Spantform und T(x) der örtliche Tiefgang. Die Größe der Lewiskoeffizienten für die in der Binnenschifffahrt gängigen Spantformen kann mit Hilfe eines potenzialtheoretischen Ansatzes berechnet werden. Durch die zeitliche Änderung des Impulses innerhalb des Kontrollabschnittes folgt bei stationärer Kreisfahrt die örtliche Querkraft.

[math]\displaystyle{ dFy(x) = d \left[ \frac{\rho}{2} \pi c(x) T(x)^2 Vw(t) \left(\sin(\delta(t)) - \frac{x}{R} \right) \right] \frac{dx}{dt} }[/math]

Hierbei ist dx/dt die Geschwindigkeit gegen Wasser, die die Querkräfte verursacht. Dieser Ansatz gilt nur für kleine Driftwinkel. Bei größeren Winkeln kommt es im Bereich des Hecks zu Wirbelbildungen und die Umströmung des Schiffskörpers entfernt sich immer mehr von der Annahme der parallelen Umströmung der Spanten. Nach /5/ muss deshalb ein zusätzlicher Anteil berücksichtigt werden:

[math]\displaystyle{ sgn(\delta(t)) \, Cws \frac{\rho}{2} [Vw(t) \sin(\delta(t))]^2 \int^{\frac{L}{2}}_{\frac{_L}{2}} T(x) dx }[/math]

Durch Integration über die Schiffslänge und Einführung der dimensionslosen Bahnkrümmung Ω kann die Größe der hydraulischen Querkraft nach folgender Gleichung berechnet werden:

[math]\displaystyle{ Fy(t) = \left[I1 \cos(\delta(t)) \sin(\delta(t)) - I2 \cos(\delta(t)) \frac{\Omega}{L} - I3 \frac{\Omega}{L} \cos(\delta(t)) + \frac{Cws}{\pi} I4 \right] \frac{\rho}{2}\pi Vw(t)^2 }[/math]

I1 bis I4 stehen in dieser Gleichung für folgende Integrale:

[math]\displaystyle{ I1 = \int^{\frac{L}{2}}_0 \left(\frac{d}{dx}c(x)T(x)^2 \right) dx }[/math]

[math]\displaystyle{ I2 = \int^{\frac{L}{2}}_0 \left(\frac{d}{dx}c(x)T(x)^2 \right) xdx }[/math]

[math]\displaystyle{ I3 = \int^{\frac{L}{2}}_{\frac{_L}{2}} \left(c(x)T(x)^2 \right) dx }[/math]

[math]\displaystyle{ I4 = \int^{\frac{L}{2}}_{\frac{_L}{2}} T(x) \left( \sin(\delta(t)) - \frac{\Omega x}{L}\right)^2 dx }[/math]

Für die Integrale I1 und I2 erfolgt die Integration nur über L/2, da die Impulsumlenkung, die aus der Änderung der Querschnittskomponenten resultiert, im Heckbereich durch Ablösung gestört wird.

Berechnung der Position des taktischen Drehpunktes

Bild 6: Cf- Werte berechnet und gemessen für SV

Bild 7: Cf-Werte gemessen und gerechnet für GMS

Bei der Fahrt auf dem stationären Drehkreis stehen die Fliehkräfte und der radiale Anteil der Querkräfte infolge der Schräganströmung im Gleichgewicht, d.h.:

[math]\displaystyle{ 0 = Fra(t) \, Fy(t) \cos(\delta(t)) }[/math]

Die in dem Ausdruck für die Fliehkräfte enthaltenen hydrodynamischen Massen können ebenfalls mit Hilfe der Lewiskoeffizienten berechnet werden. Dabei wird der Einfluss der räumlichen Umströmung durch Korrekturfaktoren nach Munk (R1 und R2) berücksichtigt. Es folgt für mx und my eines an der Wasserspiegelebene gespiegelten Doppelkörpers:

[math]\displaystyle{ myd = R2 \, \rho \, \pi \int^{\frac{L}{2}}_{\frac{-L}{2}} c(x) T(x)^2 dx }[/math]

[math]\displaystyle{ mxd = R1 \, \rho \, \pi \int^{\frac{L}{2}}_{\frac{-L}{2}} c(x) T(x)^2 dx }[/math]

Die in diesen Gleichungen enthaltenen Integrale sind bereits als I3 formuliert worden. Da die Untersuchungen nur für die Fahrt auf dem stationären Drehkreis gelten, kann die Abhängigkeit von der Zeit unberücksichtigt bleiben. Aus der Kinematik der Kreisbewegung folgt weiterhin:

[math]\displaystyle{ \Omega=\frac{L}{R} }[/math]

Damit erhält man nach Auflösung der Gleichung den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Bahnradius R und dem Driftwinkel δ:

[math]\displaystyle{ R(\delta) = \frac{2Vg^2[m+\rho \,\pi \, I3 (\sin(\delta)^2 R2 + \cos(\delta)^2 R1) ]+Vw^2 \, \rho \, \pi \, \cos(\delta)^2 (I2 + I3)} {[\cos(\delta) \sin(\delta) \, \pi \, I1 + Cws \, I4] \rho \cos(\delta) Vw^2} }[/math]

In dieser Funktion sind folgende Abhängigkeiten berücksichtigt:

• Durch die Unterscheidung der Geschwindigkeit gegen Grund (Vg) und gegen Wasser (Vw) wird der Einfluss der Fließgeschwindigkeit sowohl in der Bergfahrt als auch in der Talfahrt erfasst.
• Der Beiwert Cws berücksichtigt die Kräfte infolge Ablösungserscheinungen am Heck bei der Fahrt mit großen Driftwinkeln. In der Literatur existieren hinsichtlich seiner Größe nur wenige Erfahrungswerte von Seeschiffen. Für die Zwecke der Binnenschifffahrt muss seine Größe durch Naturuntersuchungen ermittelt werden.
• Die Integrale I1 bis I4 bestehen hauptsächlich aus dem cT-Verlauf des Schiffskörpers. Dabei ist T(x) der örtliche Tiefgang an der Stelle x und c(x) der zugehörige Lewiskoeffizient. Durch das Integral über die Schiffslänge gehen damit die Hauptabmessungen (Länge L und Tiefgang T) des Schiffes in die Funktion ein. Der Einfluss der Breite wird indirekt mit Hilfe der Trägheitskoeffizienten nach Lewis berücksichtigt. Diese beinhalten darüber hinaus die örtliche Spantform und sind für gebräuchliche Spantformen vorhanden bzw. können mit Hilfe der konformen Abbildung errechnet werden. Nach der Integration findet somit die Form des Schiffskörpers als Einflussparameter über die Formintegrale in der Berechnung ihren Eingang.

Abschließend wird darauf hingewiesen, dass in der Vergangenheit bereits Untersuchungen zum Einfluss von Flachwasser auf die Größe der Lewiskoeffizienten durchgeführt wurden. Somit liegen Erfahrungen vor, um die Auswirkungen von in der Tiefe begrenztem Fahrwasser auf die Größe des sich ausbildenden Driftwinkels im Rechenmodell zu berücksichtigen.

Wie bereits dargelegt ist die in der Proberechnung genutzte Größe für den Abströmbeiwert Cws ein Mittelwert aus der Seeschifffahrt. Für Binnenschiffe existieren in der Literatur keine verwendbaren Erfahrungen. Deshalb wurden für die Bemessungszwecke aus den statistisch sicheren Erkenntnissen zur Position des taktischen Drehpunktes bei der Fahrt auf Kanälen Cws-Werte abgeleitet und auf die fließenden Gewässer übertragen. Dies ist möglich, da der Cws-Wert im Wesentlichen von der Form des Hinterschiffes abhängt. Unter Nutzung dieser Abströmwerte wurden ein Großmotorgüterschiff modelliert und die im Bild 6 dargestellten Abhängigkeiten für den Cf-Wert in Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeiten des Gewässers und der Fahrgeschwindigkeit des Schiffes gegen Wasser errechnet.

In dem Diagramm ist die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses als Vstr an der Abszisse abgetragen. Die Bergfahrt des Schiffes ist dabei mit positiven Vorzeichen gekennzeichnet, die Talfahrt mit einem negativen Vorzeichen. An der Ordinate ist die Größe des Cf-Wertes als dimensionslose Größe abgetragen. Der Wert 0 bedeutet, dass sich der taktische Drehpunkt im Heck des Schiffes befindet. Bei dem Wert 1 befindet er sich im Bug des Schiffes. Ist der Wert größer als 1, befindet sich der taktische Drehpunkt vor dem Schiff. Nach den theoretischen Vorbetrachtungen ist die Größe des Cf-Wertes von der Strömungsgeschwindigkeit des Gewässers und von der Fahrtgeschwindigkeit des Schiffes gegen Wasser abhängig. Deshalb wurde für jede untersuchte Fahrgeschwindigkeit eine eigene Funktion errechnet und deren Graphen mit verschiedenen Farben gekennzeichnet. Die Zuordnung der Farben zu den jeweiligen Schiffsgeschwindigkeiten gegen Wasser befindet sich in der Legende des Diagramms.

Zusammengefasst ergeben die Vorbetrachtungen folgende Ergebnisse:

• Die Position des taktischen Drehpunktes ist unabhängig von dem gefahrenen Kurvenradius R für R>L.
• Die Fließgeschwindigkeit des Gewässers beeinflusst die Position des taktischen Drehpunktes und damit die Fahrspurbreite des Schiffes. Bei der Bergfahrt verschiebt sich seine Position in Richtung Schiffsmitte, wodurch sich die Fahrspurbreite geringfügig verringert. Bei der Talfahrt wandert der Punkt in Richtung Bug bzw. vor den Bug, wodurch sich die Fahrspurbreite vergrößert.
• Die Fahrgeschwindigkeit des Schiffes gegen Wasser verändert die Größe des Einflusses der Fließgeschwindigkeit auf die Position des taktischen Drehpunktes. Eine Vergrößerung der Fahrgeschwindigkeit führt in der Bergfahrt zu einer geringfügigen Erhöhung der Fahrspurbreite und in der Talfahrt zu einer Verminderung der Fahrspurbreite.

Anwendungsbeispiele

Das Programm PeTra befindet sich seit 1998 innerhalb der BAW im Wirkbetrieb. Der Teil der Automatischen Kursachsengenerierung wird parallel weiter entwickelt. Ursprünglich war diese Funktion dazu gedacht, zu Beginn der Arbeiten eine Starttrasse zu generieren, auf deren Basis die Ausbauplanung weitergeführt werden kann. Bei den ersten Erprobungen dieses Rechenmodells konnte festgestellt werden, dass die Qualität der Achsen die Erwartungen übertraf. Aus diesem Grund wurde das Verfahren mit dem Ziel weiterentwickelt, dass allein durch die Veränderungen der hydraulischen Randbedingungen realistische Kursachsen generiert werden können und so für ganze Pegelfächer in kürzester Zeit Befahrbarkeits- bzw. Engpassanalysen durchgeführt werden können.

Referenzprojekte

Projekt	Ausführende Einrichtung
Überprüfung des Trassierungsentwurfs für den Ausbau der Mittelweser	BAW
Befahrbarkeitsanalyse Saar	WSA Eberswalde
Fahrdynamische Begutachtung der Stadtstrecke Magdeburg	WNA Berlin / BAW
Fahrdynamische Begutachtung der Mainbrücke Kitzingen	BAW
Engpassanalyse Rhein	BAW

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Strukturübersicht