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Differenzen der Berechnungsergebnisse und Datei:Ueberfallbeiwert schmalkronig.png: Unterschied zwischen den Seiten

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imported>Lang Guenther
(Daten für das Taylor-Diagramm: Pattern RMS)
 
imported>Merkel Jennifer
 
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[[en:Differences of Calculated Results]]
 
  
==Einführung==
 
 
Für die von
 
* [[Modellverfahren für den Küstenbereich und Ästuare|mathematischen Verfahren]] erzeugten Ergebnisse, durch
 
* [[Analyse der Berechnungsergebnisse]] ermittelten Kennwerte, oder
 
* Beobachtungsdaten
 
können verschiedene Differenzen berechnet werden. Typischer Weise lassen sich die verschiedenen Eingangsdaten wie folgt kategorisieren:
 
* '''Kategorie K0''': <math>f(x,y,z)</math>, von der Zeit unabhängige Größen;
 
* '''Kategorie K1''': <math>f(x,y,z,t_1)</math>, von der Zeit abhängige Größen, ein Termin;
 
* '''Kategorie KC''': <math>f(x,y,z,t_i)</math>, von der Zeit abhängige Größen, mehrere diskrete Termine, äquidistanter Zeitschritt <math>\Delta_t</math>;
 
* '''Kategorie KN''': <math>f(x,y,z,t_i)</math>, von der Zeit abhängige Größen, mehrere diskrete Termine, nicht äquidistanter Zeitschritt <math>\Delta_t(i)</math>.
 
Für geophysikalische Daten spielen insbesondere die Kategorien K1, KC und KN eine Rolle. Beispiele:
 
* Kategorie K1: Topografie/Bathymetrie <math>h(x,y,z,t_1)</math> für einen bestimmten Termin;
 
* Kategorie KC: Wasserspiegelauslenkung <math>\eta(x,y,z,t_i)</math> zu äquidistanten Terminen <math>t_i</math>, z. B. von einem mathematischen Verfahren berechnet;
 
* Kategorie KN: Tidehochwasser <math>\eta^{\rm{Thw}}(x,y,z,t_i)</math> zu ''nicht'' äquidistanten Terminen <math>t_i</math>, z. B. als Analyse-Ergebnis einer Wasserstandszeitreihe.
 
 
==Definitionen==
 
 
* '''Referenz-Daten <math>r</math>''': Gegenüber <math>r</math> werden verschiedene ''Abweichungen'' von <math>f</math> ermittelt. Können Beobachtungsdaten, Simulations- oder Analyse-Ergebnisse für einen ''ausgezeichneten'' Zustand sein;
 
* '''Vergleichs-Daten <math>f</math>''': Können ebenfalls Beobachtungsdaten, Simulations- oder Analyse-Ergebnisse sein, deren Unterschiede zu den Referenz-Daten ermittelt werden sollen. Z. B. Ergebnisse für einen anderen Zeitraum (natürliche Variation) oder (anthropogen beeinflussten Ausbau-) Zustand eines Systems;
 
* '''Logical-Operator 1''': <math>V(r_i)</math> liefert den Ergebniswert .T. oder .F., in Abhängigkeit ob <math>r_i</math> gültig oder ungültig ist. Auf <math>f_i</math> angewendet gilt dasselbe.
 
* '''Logical-Operator 2''': <math>V(r_I,f_i)</math> liefert den Ergebniswert .T. oder .F., in Abhängigkeit ob <math>V(r_i)\land V(f_i)</math> gültig oder ungültig ist.
 
* '''Integer-Operator 1''': <math>P(r_i)</math> liefert den Ergebniswert 1 falls <math>V(r_i)</math> .T. ist und ansonsten den Wert 0. Auf <math>f_i</math> angewendet gilt dasselbe.
 
* '''Integer-Operator 2''': <math>P(r_i,f_i)</math> liefert den Ergebniswert 1 falls <math>V(r_i)\land V(f_i)</math> .T. ist und ansonsten den Wert 0.
 
 
==Voraussetzungen für die Berechnung von Differenzen==
 
 
Folgende Voraussetzungen müssen die Eingangsdaten <math>r</math> und <math>f</math> erfüllt werden:
 
# <math>r</math> und <math>f</math> müssen derselben Kategorie (siehe oben) angehören;
 
# die Anzahl der Termine <math>t_i</math> muss für <math>r</math> und <math>f</math> identisch sein;
 
# für Daten der Kategorie KC müssen die äquidistanten Zeitschritte <math>\Delta t</math> für <math>r</math> und <math>f</math> übereinstimmen;
 
# (physikalische) Dimension und Bedeutung müssen für <math>r</math> und <math>f</math> äquivalent sein;
 
# sowohl <math>r_i</math> (kurz für <math>r(x,y,z,t_i)</math>) als auch <math>f_i</math> (kurz für <math>r(x,y,z,t_i)</math>) müssen für den Termin <math>i</math> gültig sein; ansonsten wird ein ungültiger Wert berechnet.
 
 
==Berechnungsergebnisse==
 
 
Für das Programm [[NCDELTA]], mit dem die nachfolgenden Ergebnisse berechnet werden können, müssen die Werte von <math>r</math> nicht an denselben Orten wie die Werte von <math>f</math> definiert sein. Die Werte von <math>r</math> werden auf die Positionen von <math>f</math> interpoliert, insofern die Positionen in ihrer geografischen Lage um nicht mehr als einen kritischen Abstand  <math>R^\max</math> voneinander entfernt liegen. Wird dieser kritische Abstand ''überschritten'', so werden keine Ergebnisse berechnet. In diesem Fall wird ein ''ungültiger'' Wert als Ergebnis erzeugt. Folgende Berechnungsergebnisse können mit dem Programm [[NCDELTA]] berechnet werden.
 
 
===Gewöhnliche Differenzen===
 
 
====Differenz====
 
 
Das Ergebnis wird für alle Termine (ein Ergebniswert bei zeitunabhängigen Daten) für alle Positionen <math>(x,y,z)</math> berechnet:
 
# Es wird die Differenz zwischen <math>f_i</math> und <math>r_i</math> berechnet, falls <math>V(r_i,f_i)</math> den Wert .T. liefert:
 
#:<math>d_i = f_i - r_i</math>, falls <math>V(r_i,f_i)</math>;
 
# Das Ergebnis wird mit ''invalid'' gekennzeichnet, falls <math>V(r_i,f_i)</math> den Wert .F. ergibt:
 
#:<math>d_i = \rm{invalid}</math>, falls <math>\lnot V(r_i,f_i)</math>.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''K0''', '''K1''', '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Arten von Daten.
 
 
====Maximale Differenz====
 
 
Es wird der dem Betrage nach ''maximale'' Wert unter Beibehaltung des Vorzeichens ermittelt:
 
# Zunächst werden alle Differenzen <math>d_i</math> wie oben beschrieben berechnet;
 
# Aus den gültigen Werten wird ein Index <math>i^\max</math> so ermittelt, dass dort <math>\left|d_i\right|</math> maximal wird
 
#:<math>d^\max = d_{i^\max}</math>.
 
#:bezeichnet dann die im Sinne dieser Definition ''maximale Differenz''; diese kann positiv, negativ oder Null sein;
 
# Falls alle Werte <math>d_i</math> ungültig sind, wird <math>d^\max = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>d^\max</math>, falls wenigstens eine gültige Differenz <math>d_i</math> vorhanden ist. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Differenzen''.
 
 
====Minimale Differenz====
 
 
Es wird der dem Betrage nach ''minimale'' Wert unter Beibehaltung des Vorzeichens ermittelt:
 
# Zunächst werden alle Differenzen <math>d_i</math> wie oben beschrieben berechnet;
 
# Aus den gültigen Werten wird ein Index <math>i^\min</math> so ermittelt, dass dort <math>\left|d_i\right|</math> minimal wird
 
#:<math>d^\min = d_{i^\min}</math>.
 
#:bezeichnet dann die im Sinne dieser Definition ''minimale Differenz''; diese kann positiv, negativ oder Null sein;
 
# Falls alle Werte <math>d_i</math> ungültig sind, wird <math>d^\min = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>d^\min</math>, falls wenigstens eine gültige Differenz <math>d_i</math> vorhanden ist. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Differenzen''.
 
 
====Mittlere Differenz====
 
 
Es wird der Mittelwert aller gültigen Differenzen berechnet:
 
# Zunächst werden alle Differenzen <math>d_i</math> wie oben beschrieben berechnet;
 
# Aus den gültigen Werten folgt für den Mittelwert
 
#:<math>d^{\rm{mit}}=\frac{\sum_{i\in I}P(d_i)d_i}{\sum_{i\in I}P(d_i)}</math>;
 
# Falls alle Werte <math>d_i</math> ungültig sind, wird <math>d^{\rm{mit}} = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>d^{\rm{mit}}</math>, falls wenigstens eine gültige Differenz <math>d_i</math> vorhanden ist. D. h. die Mittelwerte können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Differenzen''.
 
 
====Mittlere Abweichung====
 
 
Es wird die Abweichung aller gültigen Differenzen berechnet:
 
# Zunächst werden alle Differenzen <math>d_i</math> wie oben beschrieben berechnet;
 
# Aus den gültigen Werten folgt für die Abweichung
 
#:<math>d^{\rm{abw}}=\frac{\sum_{i\in I}P(d_i)\left|d_i\right|}{\sum_{i\in I}P(d_i)}</math>;
 
# Falls alle Werte <math>d_i</math> ungültig sind, wird <math>d^{\rm{abw}} = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>d^{\rm{abw}}</math>, falls wenigstens eine gültige Differenz <math>d_i</math> vorhanden ist. D. h. den Abweichungen können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Differenzen''.
 
 
====Anzahl der gültigen Differenzen====
 
 
Die Anzahl der gültigen Differenzen kann von Ort zu Ort variieren. Daher liegt einigen der oben beschriebenen Größen eine unterschiedlich große Stichprobe für ihre Berechnung zu Grunde:
 
# Zunächst werden alle Differenzen <math>d_i</math> wie oben beschrieben berechnet;
 
# Die Anzahl der gültigen Differenzen ergibt sich dann zu
 
#:<math>N^{\rm{ord}}=\sum_{i\in I}P(d_i)</math>;
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. In Programmen wie [[NCPLOT]] können z. B. die ''Maximale Differenz'', die ''Minimale Differenz'', der ''Mittelwert'' sowie die ''Mittlere Abweichung'' mit Hilfe dieser Größe bei der Visualisierung gefiltert werden. So können Darstellungen erzeugt werden, die z. B. das Ergebnis nur für Orte darstellen, an denen alle, oder eine bestimmte Anzahl von Ereignissen für die Berechnung der Daten zur Verfügung standen.
 
 
===Daten für das Taylor-Diagramm===
 
 
Taylor Diagramme ermöglichen "''a concise statistical summary of how well patterns match each other in terms of their correlation, their root-mean-square difference and the ratio of their variances''." Zusätzliche Informationen wie z. B. der absolute oder prozentuale Unterschied bezüglich der Mittelwerte (''Bias'') können prinzipiell in Taylor Diagrammen ergänzt werden.
 
Ein Taylor Diagramm bietet einen ausgezeichneten grafischen Rahmen, um verschiedene Variable eines oder mehrerer Modelle, einer oder mehrere Simulationsrechnungen mit Referenzdaten vergleichen zu können.
 
 
Literatur und weitere Informationen:
 
# Taylor, K. E. (2001), ''Summarizing multiple aspects of model performance in a single diagram'', Journal of Geophysical Research, 106 (D7), 7183–7192, doi: [http://dx.doi.org/10.1029/2000JD900719 http://dx.doi.org/10.1029/2000JD900719];
 
# [http://www-pcmdi.llnl.gov/about/staff/Taylor/CV/Taylor_diagram_primer.htm http://www-pcmdi.llnl.gov/about/staff/Taylor/CV/Taylor_diagram_primer.htm] mit einer kurzen Einführung in das Diagramm durch K. E. Taylor sowie weiteren Hinweisen auf Anwendungsbeispiele.
 
 
====Standardabweichung der Referenzdaten====
 
 
Es wird die Standardabweichung für alle gültigen Referenzdaten berechnet:
 
# Zunächst wird der Mittelwert der Referenzdaten <math>r</math> ermittelt
 
#:<math>\bar{r}=\frac{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)r_i}{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)}</math>;
 
# Falls ein gültiger Mittelwert berechnet werden konnte folgt für die Standardabweichung
 
#:<math>\sigma_r = \sqrt{\frac{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)\left(r_i-\bar{r}\right)^2}{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)}}</math>;
 
# Falls alle Werte <math>P(r_i,f_i)</math> 0 sind, wird <math>\sigma_r = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>\sigma_r</math>, falls wenigstens ein auf 1 lautender Wert <math>P(r_i,f_i)</math> vorhanden ist. D. h. die Standardabweichungen können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Taylor Daten''.
 
 
Anmerkung: Wir verwenden hier <math>P(r_i,f_i)</math> und nicht <math>P(r_i)</math> um sicherzustellen, dass sich die für das Taylor Diagramm benötigten Daten jeweils auf denselben Stichprobenumfang beziehen.
 
 
====Standardabweichung der Vergleichsdaten====
 
 
Es wird die Standardabweichung für alle gültigen Vergleichsdaten berechnet:
 
# Zunächst wird der Mittelwert der Vergleichsdaten <math>f</math> ermittelt
 
#:<math>\bar{f}=\frac{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)f_i}{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)}</math>;
 
# Falls ein gültiger Mittelwert berechnet werden konnte folgt für die Standardabweichung
 
#:<math>\sigma_f = \sqrt{\frac{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)\left(f_i-\bar{f}\right)^2}{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)}}</math>;
 
# Falls alle Werte <math>P(r_i,f_i)</math> 0 sind, wird <math>\sigma_f = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>\sigma_f</math>, falls wenigstens ein auf 1 lautender Wert <math>P(r_i,f_i)</math> vorhanden ist. D. h. die Standardabweichungen können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Taylor Daten''.
 
 
Anmerkung: Wir verwenden hier <math>P(r_i,f_i)</math> und nicht <math>P(f_i)</math> um sicherzustellen, dass sich die für das Taylor Diagramm benötigten Daten jeweils auf denselben Stichprobenumfang beziehen.
 
 
====Mittelwert der Referenzdaten====
 
 
Es wird der Mittelwert berechnet, wobei in die Berechnung des Mittelwertes <math>\bar{r}</math> nur diejenigen Termine einfließen, für die sowohl <math>V(r_i)</math> als auch <math>V(f_i)</math> gültig sind:
 
# Aus den gültigen Werten <math>V(r_i,f_i)</math> folgt für den Mittelwert
 
#:<math>\bar{r}=\frac{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)r_i}{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)}</math>;
 
# Falls alle Werte <math>V(r_i,f_i)</math> ungültig sind, wird <math>\bar{r} = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>\bar{r}</math>, falls wenigstens ein gültiger Wert <math>V(r_i,f_i)</math> vorhanden ist. D. h. die Mittelwerte können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Taylor Daten''.
 
 
====Mittelwert der Vergeleichsdaten====
 
 
Es wird der Mittelwert berechnet, wobei in die Berechnung des Mittelwertes <math>\bar{f}</math> nur diejenigen Termine einfließen, für die sowohl <math>V(r_i)</math> als auch <math>V(f_i)</math> gültig sind:
 
# Aus den gültigen Werten <math>V(r_i,f_i)</math> folgt für den Mittelwert
 
#:<math>\bar{f}=\frac{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)f_i}{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)}</math>;
 
# Falls alle Werte <math>V(r_i,f_i)</math> ungültig sind, wird <math>\bar{f} = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>\bar{f}</math>, falls wenigstens ein gültiger Wert <math>V(r_i,f_i)</math> vorhanden ist. D. h. die Mittelwerte können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Taylor Daten''.
 
 
====Korrelation====
 
 
Es wird die Korrelation zwischen <math>r</math> und <math>f</math> berechnet:
 
# Der Mittelwert <math>\bar{r}</math> der Referenzdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
 
# Der Mittelwert <math>\bar{f}</math> der Vergleichsdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
 
# Die Standardabweichung <math>\sigma_r</math> der Referenzdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
 
# Die Standardabweichung <math>\sigma_f</math> der Vergleichsdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
 
# Für die Korrelation <math>R</math> folgt
 
#:<math>R=\frac{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)\left(r_i-\bar{r}\right)\left(f_i-\bar{f}\right)}{\sigma_r\sigma_f\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)}</math>;
 
# Falls alle Werte <math>V(r_i,f_i)</math> ungültig sind, wird <math>R = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>R</math>, falls wenigstens ein gültiger Wert <math>V(r_i,f_i)</math> vorhanden ist. D. h. der Korrelation können Stichproben unterschiedlicher zu Grunde liegen. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Taylor Daten''.
 
 
====Pattern RMS====
 
 
Es wird die sogenannte Pattern RMS zwischen <math>r</math> und <math>f</math> berechnet:
 
# Der Mittelwert <math>\bar{r}</math> der Referenzdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
 
# Der Mittelwert <math>\bar{f}</math> der Vergleichsdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
 
# Für die Pattern RMS <math>E'</math> folgt
 
#:<math>E'=\sqrt{\frac{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)\left[\left(r_i-\bar{r}\right)\left(f_i-\bar{f}\right)\right]^2}{\sum_{i\in I}P(r_i,f_i)}}</math>;
 
# Falls alle Werte <math>V(r_i,f_i)</math> ungültig sind, wird <math>E' = \rm{invalid}</math> gesetzt.
 
Die Berechnung wird für Daten der Kategorien '''KC''' und '''KN''' durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für <math>E'</math>, falls wenigstens ein gültiger Wert <math>V(r_i,f_i)</math> vorhanden ist. D. h. den Werten der Pattern RMS können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie [[NCPLOT]] ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der ''Anzahl der gültigen Taylor Daten''.
 
 
====RMS der Mittelwerte====
 
 
'ODmrm',  & ! 13 "RMS aus Abweichung der Mittelwerte"
 
 
====Anzahl der gültigen Referenzdaten====
 
 
'ORnof',  & ! 14 "Anzahl der gültigen REFERENCE-Daten"
 
 
====Anzahl der gültigen Vergleichsdaten====
 
 
'OVnof',  & ! 15 "Anzahl der gültigen VARIANT-Daten"
 
 
====Anzahl der gültigen Taylor-Daten====
 
 
'OTnof',  & ! 16 "Anzahl der gültigen Daten"
 
 
===Median und Perzentile===
 
 
====Median====
 
 
'ODp50',  & ! 17 "Median der Differenzen"
 
 
====Perzentil Q01====
 
 
'ODp01',  & ! 18 "Quantil Q_01 der Differenzen"
 
 
====Perzentil Q05====
 
 
'ODp05',  & ! 19 "Quantil Q_05 der Differenzen"
 
 
====Perzentil Q95====
 
 
'ODp95',  & ! 20 "Quantil Q_95 der Differenzen"
 
 
====Perzentil Q99====
 
 
'ODp99' /)  ! 21 "Quantil Q_99 der Differenzen" 
 
 
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[[Strukturübersicht]]
 

Version vom 11. Juli 2016, 06:47 Uhr