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Differenzen der Berechnungsergebnisse: Unterschied zwischen den Versionen

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(Mittlere Abweichung: RMSE)
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Version vom 27. August 2018, 06:45 Uhr


Einführung

Für die von

können verschiedene Differenzen berechnet werden. Typischer Weise lassen sich die verschiedenen Eingangsdaten wie folgt kategorisieren:

  • Kategorie K0: , von der Zeit unabhängige Größen;
  • Kategorie K1: , von der Zeit abhängige Größen, ein Termin;
  • Kategorie KC: , von der Zeit abhängige Größen, mehrere diskrete Termine, äquidistanter Zeitschritt ;
  • Kategorie KN: , von der Zeit abhängige Größen, mehrere diskrete Termine, nicht äquidistanter Zeitschritt .

Für geophysikalische Daten spielen insbesondere die Kategorien K1, KC und KN eine Rolle. Beispiele:

  • Kategorie K1: Topografie/Bathymetrie für einen bestimmten Termin;
  • Kategorie KC: Wasserspiegelauslenkung zu äquidistanten Terminen , z. B. von einem mathematischen Verfahren berechnet;
  • Kategorie KN: Tidehochwasser zu nicht äquidistanten Terminen , z. B. als Analyse-Ergebnis einer Wasserstandszeitreihe.

Definitionen

  • Referenz-Daten : Gegenüber werden verschiedene Abweichungen von ermittelt. Können Beobachtungsdaten, Simulations- oder Analyse-Ergebnisse für einen ausgezeichneten Zustand sein;
  • Vergleichs-Daten : Können ebenfalls Beobachtungsdaten, Simulations- oder Analyse-Ergebnisse sein, deren Unterschiede zu den Referenz-Daten ermittelt werden sollen. Z. B. Ergebnisse für einen anderen Zeitraum (natürliche Variation) oder (anthropogen beeinflussten Ausbau-) Zustand eines Systems;
  • Logical-Operator 1: liefert den Ergebniswert .T. oder .F., in Abhängigkeit ob gültig oder ungültig ist. Auf angewendet gilt dasselbe.
  • Logical-Operator 2: liefert den Ergebniswert .T. oder .F., in Abhängigkeit ob gültig oder ungültig ist.
  • Integer-Operator 1: liefert den Ergebniswert 1 falls .T. ist und ansonsten den Wert 0. Auf angewendet gilt dasselbe.
  • Integer-Operator 2: liefert den Ergebniswert 1 falls .T. ist und ansonsten den Wert 0.

Voraussetzungen für die Berechnung von Differenzen

Folgende Voraussetzungen müssen die Eingangsdaten und erfüllt werden:

  1. und müssen derselben Kategorie (siehe oben) angehören;
  2. die Anzahl der Termine muss für und identisch sein;
  3. für Daten der Kategorie KC müssen die äquidistanten Zeitschritte für und übereinstimmen;
  4. (physikalische) Dimension und Bedeutung müssen für und äquivalent sein;
  5. sowohl (kurz für ) als auch (kurz für ) müssen für den Termin gültig sein; ansonsten wird ein ungültiger Wert berechnet.

Berechnungsergebnisse

Doe nachfolgenden Größen können mit dem Programm NCDELTA berechnet werden.

Gewöhnliche Differenzen

Differenz

Das Ergebnis wird für alle Termine (ein Ergebniswert bei zeitunabhängigen Daten) für alle Positionen berechnet:

  1. Es wird die Differenz zwischen und berechnet, falls den Wert .T. liefert:
    , falls ;
  2. Das Ergebnis wird mit invalid gekennzeichnet, falls den Wert .F. ergibt:
    , falls .

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien K0, K1, KC und KN durchgeführt, also für alle Arten von Daten.

Maximale Differenz

Es wird der dem Betrage nach maximale Wert unter Beibehaltung des Vorzeichens ermittelt:

  1. Zunächst werden alle Differenzen wie oben beschrieben berechnet;
  2. Aus den gültigen Werten wird ein Index so ermittelt, dass dort maximal wird
    .
    bezeichnet dann die im Sinne dieser Definition maximale Differenz; diese kann positiv, negativ oder Null sein;
  3. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens eine gültige Differenz vorhanden ist. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Minimale Differenz

Es wird der dem Betrage nach minimale Wert unter Beibehaltung des Vorzeichens ermittelt:

  1. Zunächst werden alle Differenzen wie oben beschrieben berechnet;
  2. Aus den gültigen Werten wird ein Index so ermittelt, dass dort minimal wird
    .
    bezeichnet dann die im Sinne dieser Definition minimale Differenz; diese kann positiv, negativ oder Null sein;
  3. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens eine gültige Differenz vorhanden ist. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Mittlere Differenz

Es wird der Mittelwert aller gültigen Differenzen berechnet:

  1. Zunächst werden alle Differenzen wie oben beschrieben berechnet;
  2. Aus den gültigen Werten folgt für den Mittelwert
    ;
  3. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens eine gültige Differenz vorhanden ist. D. h. die Mittelwerte können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Mittlere Abweichung

Es wird die Abweichung aller gültigen Differenzen berechnet:

  1. Zunächst werden alle Differenzen wie oben beschrieben berechnet;
  2. Aus den gültigen Werten folgt für die Abweichung
    ;
  3. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorie KC durchgeführt, also für alle Datensätze mit äquidistantem Zeitschritt. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens eine gültige Differenz vorhanden ist. D. h. den Abweichungen können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Root Mean Square Error (RMSE)

Es wird die Abweichung aller gültigen Differenzen berechnet:

  1. Zunächst werden alle Differenzen wie oben beschrieben berechnet;
  2. Aus den gültigen Werten folgt für die Abweichung
    ;
  3. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorie KC durchgeführt, also für alle Datensätze mit äquidistantem Zeitschritt. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für RMSE, falls wenigstens eine gültige Differenz vorhanden ist. D. h. den RMSE können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Anzahl der gültigen Differenzen

Die Anzahl der gültigen Differenzen kann von Ort zu Ort variieren. Daher liegt einigen der oben beschriebenen Größen eine unterschiedlich große Stichprobe für ihre Berechnung zu Grunde:

  1. Zunächst werden alle Differenzen wie oben beschrieben berechnet;
  2. Die Anzahl der gültigen Differenzen ergibt sich dann zu
    ;

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. In Programmen wie NCPLOT können z. B. die Maximale Differenz, die Minimale Differenz, der Mittelwert sowie die Mittlere Abweichung mit Hilfe dieser Größe bei der Visualisierung gefiltert werden. So können Darstellungen erzeugt werden, die z. B. das Ergebnis nur für Orte darstellen, an denen alle, oder eine bestimmte Anzahl von Ereignissen für die Berechnung der Daten zur Verfügung standen.

Daten für das Taylor-Diagramm

Taylor Diagramme ermöglichen "a concise statistical summary of how well patterns match each other in terms of their correlation, their root-mean-square difference and the ratio of their variances." Zusätzliche Informationen wie z. B. der absolute oder prozentuale Unterschied bezüglich der Mittelwerte (Bias) können prinzipiell in Taylor Diagrammen ergänzt werden. Ein Taylor Diagramm bietet einen ausgezeichneten grafischen Rahmen, um verschiedene Variable eines oder mehrerer Modelle, einer oder mehrere Simulationsrechnungen mit Referenzdaten vergleichen zu können.

Literatur und weitere Informationen:

  1. Taylor, K. E. (2001), Summarizing multiple aspects of model performance in a single diagram, Journal of Geophysical Research, 106 (D7), 7183–7192, doi: http://dx.doi.org/10.1029/2000JD900719;
  2. http://www-pcmdi.llnl.gov/about/staff/Taylor/CV/Taylor_diagram_primer.htm mit einer kurzen Einführung in das Diagramm durch K. E. Taylor sowie weiteren Hinweisen auf Anwendungsbeispiele.

Standardabweichung der Referenzdaten

Es wird die Standardabweichung für alle gültigen Referenzdaten berechnet:

  1. Zunächst wird der Mittelwert der Referenzdaten ermittelt
    ;
  2. Falls ein gültiger Mittelwert berechnet werden konnte folgt für die Standardabweichung
    ;
  3. Falls alle Werte 0 sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens ein auf 1 lautender Wert vorhanden ist. D. h. die Standardabweichungen können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Taylor Daten.

Anmerkung: Wir verwenden hier und nicht um sicherzustellen, dass sich die für das Taylor Diagramm benötigten Daten jeweils auf denselben Stichprobenumfang beziehen.

Standardabweichung der Vergleichsdaten

Es wird die Standardabweichung für alle gültigen Vergleichsdaten berechnet:

  1. Zunächst wird der Mittelwert der Vergleichsdaten ermittelt
    ;
  2. Falls ein gültiger Mittelwert berechnet werden konnte folgt für die Standardabweichung
    ;
  3. Falls alle Werte 0 sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens ein auf 1 lautender Wert vorhanden ist. D. h. die Standardabweichungen können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Taylor Daten.

Anmerkung: Wir verwenden hier und nicht um sicherzustellen, dass sich die für das Taylor Diagramm benötigten Daten jeweils auf denselben Stichprobenumfang beziehen.

Mittelwert der Referenzdaten

Es wird der Mittelwert berechnet, wobei in die Berechnung des Mittelwertes nur diejenigen Termine einfließen, für die sowohl als auch gültig sind:

  1. Aus den gültigen Werten folgt für den Mittelwert
    ;
  2. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens ein gültiger Wert vorhanden ist. D. h. die Mittelwerte können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Taylor Daten.

Mittelwert der Vergleichsdaten

Es wird der Mittelwert berechnet, wobei in die Berechnung des Mittelwertes nur diejenigen Termine einfließen, für die sowohl als auch gültig sind:

  1. Aus den gültigen Werten folgt für den Mittelwert
    ;
  2. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens ein gültiger Wert vorhanden ist. D. h. die Mittelwerte können Stichproben unterschiedlicher Größe entstammen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Taylor Daten.

Korrelation

Es wird die Korrelation zwischen und berechnet:

  1. Der Mittelwert der Referenzdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
  2. Der Mittelwert der Vergleichsdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
  3. Die Standardabweichung der Referenzdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
  4. Die Standardabweichung der Vergleichsdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
  5. Für die Korrelation folgt
    ;
  6. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens ein gültiger Wert vorhanden ist. D. h. der Korrelation können Stichproben unterschiedlicher zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Taylor Daten.

Pattern RMS

Es wird die sogenannte Pattern RMS zwischen und berechnet:

  1. Der Mittelwert der Referenzdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
  2. Der Mittelwert der Vergleichsdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
  3. Für die Pattern RMS folgt
    ;
  4. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens ein gültiger Wert vorhanden ist. D. h. den Werten der Pattern RMS können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Taylor Daten.

Abweichung der Mittelwerte (Bias)

Es wird Abweichung der Mittelwerte und berechnet; diese Größe wird auch als Bias bezeichnet:

  1. Der Mittelwert der Referenzdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
  2. Der Mittelwert der Vergleichsdaten wird wie oben beschrieben berechnet;
  3. Für die Abweichung der Mittelwerte folgt
    ;
  4. Falls alle Werte ungültig sind, wird gesetzt;
  5. Die Gesamt RMS folgt aus und gemäß
    ;

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Man erhält immer dann einen gültigen Wert für , falls wenigstens ein gültiger Wert vorhanden ist. D. h. den Werten des Bias können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Taylor Daten.

Anzahl der gültigen Referenzdaten

Die Anzahl der gültigen Referenzdaten kann von Ort zu Ort variieren:

  1. Die Anzahl der gültigen Referenzdaten beträgt
    ;

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Diese Größe hat rein informativen Charakter und wird für Taylor Diagramme nicht benötigt.

Anzahl der gültigen Vergleichsdaten

Die Anzahl der gültigen Vergleichsdaten kann von Ort zu Ort variieren:

  1. Die Anzahl der gültigen Vergleichsdaten beträgt
    ;

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Diese Größe hat rein informativen Charakter und wird für Taylor Diagramme nicht benötigt.

Anzahl der gültigen Taylor-Daten

Die Anzahl der gültigen Taylor Daten und kann von Ort zu Ort variieren:

  1. Die Anzahl der gültigen Taylor Daten beträgt
    ;

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. In Programmen wie NCPLOT können die o. g. Taylor Daten mit Hilfe dieser Größe bei der Visualisierung gefiltert werden. So können Darstellungen erzeugt werden, die z. B. das Ergebnis nur für Orte darstellen, an denen alle, oder eine bestimmte Anzahl von Ereignissen für die Berechnung der Daten zur Verfügung standen.

Median und Quantile

Voraussetzung für die Berechnung der nachfolgenden Größen ist, dass die gültigen Differenzen von zunächst aufsteigend sortiert werden: Die gültigen Differenzen werden aufsteigend sortiert zu , mit . Vereinfachend wird nachfolgend benutzt.

Die Berechnung der nachfolgenden Größen wird nur für durchgeführt.

Median

Es wird der Median für die gültigen Differenzen berechnet:

  1. falls ungerade: ;
  2. falls gerade: ;
  3. falls weniger als 32 gültige Werte vorliegen, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Den Werten können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Quantil Q01

Es wird das Quantil für die gültigen Differenzen berechnet, d. h. es wird diejenige Differenz ermittelt, die in nur 1 % der Fälle unterschritten aber in 99 % der Fälle überschritten wird:

  1. falls ganzzahlig: ;
  2. falls nicht ganzzahlig: ;
  3. falls weniger als 32 gültige Werte vorliegen, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Den Werten können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Quantil Q05

Es wird das Quantil für die gültigen Differenzen berechnet, d. h. es wird diejenige Differenz ermittelt, die in 5 % der Fälle unterschritten aber in 95 % der Fälle überschritten wird:

  1. falls ganzzahlig: ;
  2. falls nicht ganzzahlig: ;
  3. falls weniger als 32 gültige Werte vorliegen, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Den Werten können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Quantil Q95

Es wird das Quantil für die gültigen Differenzen berechnet, d. h. es wird diejenige Differenz ermittelt, die in 95 % der Fälle unterschritten aber in 5 % der Fälle überschritten wird:

  1. falls ganzzahlig: ;
  2. falls nicht ganzzahlig: ;
  3. falls weniger als 32 gültige Werte vorliegen, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Den Werten können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.

Quantil Q99

Es wird das Quantil für die gültigen Differenzen berechnet, d. h. es wird diejenige Differenz ermittelt, die in 99 % der Fälle unterschritten aber in nur 1 % der Fälle überschritten wird:

  1. falls ganzzahlig: ;
  2. falls nicht ganzzahlig: ;
  3. falls weniger als 32 gültige Werte vorliegen, wird gesetzt.

Die Berechnung wird für Daten der Kategorien KC und KN durchgeführt, also für alle Datensätze, die für mehr als einen Termin vorhanden sind. Den Werten können Stichproben unterschiedlicher Größe zu Grunde liegen. Programme wie NCPLOT ermöglichen bei der Visualisierung eine Filterung der dargestellten Daten mit Hilfe der Anzahl der gültigen Differenzen.


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